Simpangan rata-rata, simpangan baku, dan koefisien variasi
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada
dasarnya statistika ialah sebuah konsep dalam bereksperimen, menganalisa data
yang bertujuan untuk mengefisiensikan waktu, tenaga dan biaya dengan memperoleh
hasil yang optimal. Berdasarkan definisinya. Statistika merupakan ilmu yang mempelajari bagaimana
merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan
mempresentasikan data. Sedangkan statistikadalah data, informasi, atau
hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Data sendiri
merupakan kumpulan fakta atau angka.
Pada makalah ini,
kami akan membahas materi yang berjudul”Menentukan dan Menjelaskan Ukuran
Dispersi Data”. Alasan kami memilih judul ini karena kami ingin menambah
wawasan tentang bagaimana data itu tersebar. Ada beberapa ukuran penyebaran
data yaitu rentang (Range), rentang
antar kuartil, simpangan kuartil, rata-rata simpangan, simpangan baku, dan
koefisien varian. Namun pada makalah
ini kami akan membahas tentang rata-rata simpangan, simpangan baku, dan
koefisien varian.
B.
Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan simpangan rata-rata?
2. Apa yang dimaksud dengan simpangan
baku?
3. Apa yang dimaksud dengan koefisien varian?
C.
Tujuan
1. Untuk memahami pengertian simpangan rata-rata.
2. Untuk mengetahui pengertian
simpangan baku.
3. Untuk mengetahui pengertian
varians.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Simpangan Rata-rata (Deviasi Rata-rata)
Ukuran
penyebaran yang hanya didasarkan pada nilai maksimum dan minimum saja tidak
memberikan gambaran yang baik untuk melihat penyebaran data. Untuk itu, dicari
ukuran penyebaran lain yang didasarkan pada seluruh nilai data dan dihitung
terhadap nilai-nilai rata-ratanya.
Jika
nilai deviasi rata-rata kecil, nilai data terkonsentrasi di sekitar nilai
pusat. Jika nilai rata-rata besar, nilai data tersebut jauh dari nilai rata-ratanya.
Jadi deviasi rata-rata adalah suatu simpangan nilai unit observasi terhadap
nilai rata-rata.
1. Deviasi Rata-rata dari
Data Tunggal
Deviasi rata-rata
dari data tunggal dicari dengan rumus:
SR =
atau SR =
Keterangan:
SR
= Simpangan rata-rata
= nilai rata-rata
= data ke 1
n
= banyaknya data
contoh 1
Hitunglah
simpangan rata-rata dari data berikut ini!
4,
5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
Jawab:
Rata-ratanya
adalah:
=
=
7
SR
Contoh 2
|
xi
|
xi -
|
|
|
8
7
10
11
|
-1
-2
1
2
|
1
2
1
2
|
Dari
data di atas, diketahui rata-ratanya adalah 9.
Carilah simpangan rata-ratanya.
Jawab
:
SR =
SR =
= 1,5
2. Deviasi Rata-rata dari
Data yang Dikelompokan
Untuk
data yang di kelompokan dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
SR =
` Keterangan:
SR = Simpangan Rata-rata
f = frekuensi
Contoh 1:
Perhatikan tabel
distribusi frekuensi data berikut!
|
Nilai
|
Frekuensi ( f )
|
|
52 – 58
|
¹
|
|
59 – 65
|
6
|
|
66 – 72
|
7
|
|
73 – 79
|
20
|
|
80 – 86
|
8
|
|
87 – 93
|
4
|
|
94 – 100
|
3
|
|
Jumlah
|
50
|
Tentukan nilai simpangan rata-rata di atas!
Jawab:
|
Nilai
|
F
|
X
|
|
52-58
|
2
|
55
|
|
59-65
|
6
|
62
|
|
66-72
|
7
|
69
|
|
73-79
|
20
|
76
|
|
80-86
|
8
|
83
|
|
87-93
|
4
|
90
|
|
94-100
|
3
|
97
|
|
Jumlah
|
50
|
|
Rata-ratanya adalah
SR=
SR =
Jadi, Simpangan rata-ratanya adalah 7.
B. Simpangan Baku (standard
deviation)
Ukuran
tingkat penyimpanan data yang paling banyak digunakan dalam analisis data
adalah deviasi data atau simpangan baku (s
untuk simpangan baku sample, dan δ untuk simpangan baku populasi). Adapun
maksud dan pengertian dari ukuran di atas adalah merupakan ukuran penyimpangan
terhadap nilai rata-ratanya, nilai simpangan baku merupakan akar positif dari
selisih item data dengan nilai rata-rata yang dibagi oleh jumlah data (untuk data yang belum dikelompokkan),
dengan formulasi sebagai berikut:
Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal
Rumus untuk data sampel s
=
Rumus untuk data populasi σ =
Contoh:
Selama 10 kali ulangan semester ini Andi mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88.
Berapa simpangan baku dari nilai ulangan Andi?
Jawab:
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata =
|
|
-
|
|
|
91
|
5,1
|
26,
01
|
|
79
|
-6,
9
|
47,61
|
|
86
|
0,
1
|
0,
01
|
|
80
|
-5,
9
|
34,
81
|
|
75
|
-10,
9
|
118,
81
|
|
100
|
14,
1
|
198,
81
|
|
87
|
1,
1
|
1,
21
|
|
83
|
-2,
9
|
8,
41
|
|
90
|
4,
1
|
16,
81
|
|
88
|
2,
1
|
4,
41
|
|
|
|
|
Setelah itu kita tentukan
- xi 2
dari setiap nilai yang ada, hasilnya seperti di tabel
diatas.
Selanjutnya,kita masukkan ke rumus:
S =
S =
Rumus Simpangan Baku untuk Data Berkelompok
Rumus untuk data sampel s =
Rumus untuk data populasi
σ =
Semakin kecil
nilai dari ukuran simpangan baku tersebut, maka dapat diartikan bahwa tingkat
penyebaran data akan semakin mendekati nilai rata-ratanya, dan jika nilai
simpanagn baku = 0, dapat diartikan bahwa data yang dipunyai sama dengan nilai
rata-ratanya. Misalkan, kita mempunyai 5 data yang diperoleh dari hasil survei
5 orang mahasiswa yang dimintai keterangan perihal Indeks Prestasi mereka
adalah 3,2; 3,2; 3,2; 3,2 dan 3,2 (kebetulan semua sama IPK-nya), maka kalau
nilai rat-rata akan didapatkan X = 3,2
dan berdasarkan hasil perhitungan dari formulasi diatas besarnya s akan sama
dengan 0 (nol). Hal ini dapat diartika bahwa dari data yang kita punya tidak
didapati penyimpangan terhadap nilai rata-ratanya
Contoh:
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut:
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut:
|
Tinggi
badan
|
Frekuensi (fi )
|
|
131-140
|
2
|
|
141-150
|
8
|
|
151-160
|
13
|
|
161-170
|
12
|
|
171-180
|
9
|
|
181-190
|
6
|
hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut
|
Tinggi
badan
|
Frekuensi (fi )
|
Nilai tengah (xi)
|
(fi)x(xi)
|
|
131-140
|
2
|
135,5
|
271
|
|
141-150
|
8
|
145,5
|
1164
|
|
151-160
|
13
|
155,5
|
2021,5
|
|
161-170
|
12
|
165,5
|
1986
|
|
171-180
|
9
|
175,5
|
1579,5
|
|
181-190
|
6
|
185,5
|
1113
|
|
|
|
7022
|
|
|
|
Rata-rata =
|
140,44
|
|
3. Setelah
ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk
memasukkannya ke rumus simpangan baku
|
Tinggi
badan
|
Frekuensi (fi )
|
Nilai tengah (xi)
|
(xi -
)
|
(xi -
)2
|
fi (xi -
)2
|
|
131-140
|
2
|
135,5
|
-4,94
|
24,405
|
48,81
|
|
141-150
|
8
|
145,5
|
5,06
|
25,60
|
204,83
|
|
151-160
|
13
|
155,5
|
15,06
|
226,80
|
2948,45
|
|
161-170
|
12
|
165,5
|
25,06
|
628
|
7536,04
|
|
171-180
|
9
|
175,5
|
35,06
|
1229,2
|
11.062,83
|
|
181-190
|
6
|
185,5
|
45,06
|
2030,4
|
12.182,42
|
|
|
50
|
|
)2
|
33.983,38
|
|
Simpangan Baku =
= 26,07
C. Koefisien Variasi
Simpangan baku yang baru saja kita bahas mempunyai satuan yang sama
dengan satuan data aslinya. Kali ini merupakan suatu kelemahan jika kita ingin
membandingkan dua kelompok data, misalnya modal dari sepuluh perusahaan besar
di Amerka dengan yang ada di Indonesia, harga sepuluh mobil (jutaan rupiah)
dengan harga sepuluh ekor ayam (ribuan rupiah), dan berat sepuluh ekor gajah
dengan berat sepuluh ekot semut. Walaupun nilai simpangn baku untuk berat gajah
atau harga mobil lebih besar, nilai ini belum tentu lebih heterogen atau lebih
bervariasi daripada berat semut dan harga ayam. Untuk keperluan perbandingan dua
kelompok nilai penggunaan koefisien variasi (KV), yang bebas dari satuan data
asli,
Koefisien variasi (KV) atau koefisien variasi ialah
perbandingan antara simpangan standar dan harga atau nilai rata-rata yang
dinyatakan dengan persentase.
Koefisien variasi
berguna untuk mengamati variasi data atau sebaran data dari rata-rata
hitungnya; dalam pengertian jika koefisien variasinya semakin kecil, datanya
semakin seragam (homogen). Sebalikny, jika koefisien variasinya semakin besar, datanya semakin heterogen.
Koefisien variasi memiliki rumus sebagai berikut :
KV =
X 100 %, untuk populasi
Kv =
X 100 %, untuk sampel
Keterangan :
KV = Koefisien Variasi
S = Simpangan baku
x = Rata-rata
Jika ada dua kelompok data dengan KV1
dan KV2 di mana KV1
> KV2, maka kelompok pertama lebih bervariasi atau lebih
heterogen daripada kelompok kedua.
Contoh :
Harga 5 mobil bekas masing-masing adalah
Rp 4.000.000, Rp 4.500.000, Rp 5.000.000, Rp 4.750.000, serta Rp 4.250.000 dan harga 5 ayam
masing-masing Rp 600, Rp 800, Rp 900, Rp 550, dan Rp 1000. Hitunglah simpangan
baku harga mobil (sm) harga ayam (sa). Mana yang lebih bervariasi (heterogen), harga mobil atau
harga ayam ?
Penyelesaian
µm =
(4.000.000 + 4.500.000 + . . . + 4.250.000)
= Rp 4.500.000
sm =
S(Xi - µa)2
= Rp 353.550
µa =
(600 + 800 + . . .+ 1.000)
= Rp 770
sa =
S(Xi - µa)2
= Rp
172,05
KVm =
x 100%
=
x 100%
= 7,86 %
KVa =
x 100%
=
x 100%
= 22,34%
Karena KVa > KVm
, ini berarti harga ayam lebih bervariasi (heterogen) dibandingkan harga mobil.
2. Lampu di rumah Nanda rata-rata dapat
dipakai 3.800 jam dengan simpangan baku 800 jam, sedangkan lampu di rumah
Zalika dapat dipakai rata-rata selama 4.500 jam dengan simpangan baku 1.200
jam. Dari data di atas lampu di rumah siapakah yang lebih baik ?
Jawab :
# Koefisien variasi pemakaian lampu di
rumah Nanda :
KV
=
. 100%
=
. 100%
= 21%
#Koefisien variasi pemakaian lampu di
rumah Zalika :
KV
=
. 100%
=
. 100%
= 27 %
Dari perhitungan koefisien variasi, lampu
dirumah Nanda lebih baik dari lampu di rumah Zalika, karena koefisien variasi
di rumah Nanda lebih < koefisien variasi di rumah Zalika.
3. Tentukan koefisien variasi dari data
di bawah ini !
6,7,8,9,10,14
Jawab
:
Jika kita mendapatkan soal seperti di
no.3, langkah yang digunakan adalah :
1.
Mencari rata-rata
2.
Mencari simpangan baku
3.
Menentukan koefisien variasi
a.
x =
= 9
b.
S =
S
(xi – x)2
=
(6-9)2 + (7-9)2 + (8-9)2
+ (9-9)2 + (10-9)2 + (14-9)2
=
(9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 25)
=
=
2,6
Jadi, koefisien
variasinya adalah
KV
=
. 100%
=
. 100%
= 28,9 %
Contoh 4:
Hitunglah koefisien variasi dari data berikut ini!
|
Nilai
|
fi
|
|
52 - 58
59 - 65
66 - 72
73 - 79
80 - 86
87 - 93
94 - 100
|
2
6
7
20
8
4
3
|
Penyelesaian:
|
Nilai
|
xi
|
fi
|
fi xi
|
xi2
|
fi xi2
|
|
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
|
55
62
69
76
83
90
97
|
2
6
7
20
8
4
3
|
110
372
483
1520
664
360
291
|
3025
3844
4761
5776
6889
8100
9409
|
6050
23064
33327
115520
55112
32400
28227
|
|
Jumlah
|
50
|
50
|
3800
|
|
293700
|
x =
=
S =
=
=
=
= 10
KV =
=
= 14,9%
BAB III
Kesimpulan dan Saran
A. Kesimpulan
Standar deviasi atau simpangan baku adalah
satuan ukuran penyebaran frekuensi dari tendensi sentralnya. Setiap frekuensi
mempunyai deviasi dari tendensi sentralnya, dan juga merupakan ukuran
penyebaran bagi variabel kontinum, bukan variabel deskrit. Kegunaannya adalah
memberikan ukuran variabelitas dan homogenitas dari serangkain data.
Koefisien variasi (KV) atau koefisien
variasi ialah perbandingan antara simpangan standar dan harga atau nilai
rata-rata yang dinyatakan dengan persentase.
Koefisien variasi
berguna untuk mengamati variasi data atau sebaran data dari rata-rata
hitungnya; dalam pengertian jika koefisien variasinya semakin kecil, datanya
semakin seragam (homogen). Sebaliknya, jika koefisien variasinya semakin besar, datanya semakin heterogen.
B. Saran
Kami berharap mahasiswa dapat memahami pelajaran dan
contoh-contoh tentang simpangan baku dan
koefisien variasi dengan adanya makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
Isparjadi, 1988; Statistik Pendidikan, Depdikbud
Dikti PPLPTK, Jakarta (Bab II, hal. 22 – 26)
Kesumawati, nila. 2017.
Pengantar Statistik Penelitian.Depok:
Rajawali Pers.
Subana, dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Bandung: Pustaka Setia.
Sudjana, 1984; Metoda Statistika, Tarsito, Bandung
(Bab IV,hal. 89 - 98)
Suharsimi Arikunto, 1998; Prosedur Penelitian suatu
Pendekatan Praktik, (Edisi ketiga) Penerbit Bina Aksara, Jakarta (Bab III,
hal 72 – 87).
Zanten, Wim Van, 1982; Statistika untuk Ilmu-ilmu
Sosial, Penerbit Gramedia, Jakarta (Bab IV, hal. 67 – 86)
di koefisien variasi pengerjaannya tidak kelihatan
BalasHapusIy muka lu gak keliatan xixixi
Hapus