Dispersi data



A.      Pengertian Dispersi
Dispersi disebut juga sebagai ukuran penyebaran data adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya. Ukuran ini dinamakan pula ukuran variasi yang mnggambarkan berpencarnya data kuantitatif.

B.       Rentang (Range)
Rentang merupakan ukuran yang paling sederhana dan kasar tentang variasi suatu perangkat data. Rentang adalah selisih antara data terbesar dan data terkecil pada suatu perangkat data. Jarak antara kedua nilai ekstrim itu disebut “rentang” atau “range” yang diberi simbol dengan huruf “R”. Adapun rumusnya adalah sebagai berikut:
R = data terbesar – data terkecil
 



Contoh:
Nilai hasil ulangan matematika dari 30 siswa SD Negeri 120 Palembang sebagai berikut:
76   48   64   68   91   83   58   67   82   54  
84   62   56   74   90   65   68   84   75   65
72   82   74   66   73   61   76   85   69   79
Berapakah rentang dari data diatas?
Penyelesaian:
R = data terbesar – data terkecil
    = 91 – 48 = 43

Hal ini berkaitan dengan kenyataan bahwa rentang dihitung berdasarkan hanya pada dua buah data yang paling ekstrim.

C.      Rentang antar Kuartil
Rentang antar Kuartil adalah selisih antar kuartil ketiga dengan kuartil pertama. Adapun rumusnya sebagai berikut:

RAK = Kɜ – Kı

¹ıı¹¹
 



Dimana:
RAK        = rentang antar kuartil
Kɜ                        = kuartil ketiga
Kı             = kuartil pertama

Contoh:
Tentukan rentang antar kuartil 1, 2, 3, 4, 7, 8

Penyelesaian:
1,   2,   3,   4,   7,   8
Kı

¹ıı¹¹
Kɜ

¹ıı¹¹
K2

¹ıı¹¹
 



RAK = Kɜ – Kı
     = 7 – 2
                 = 5

Distribusi frekuensi dibawah ini menunjukkan berat badan 40 siswa kelas VI SD Negeri 120 Palembang. Tentukan rentang antar kuartilnya!
56   60   56   54   55   57   59   53
53   51   52   53   52   51   54   50
61   55   58   57   59   52   55   52
50   54   46   58   56   56   54   51
48   53   58   49   51   48   55   55


Berat Badan
frekuensi
46 - 48
3
49 - 51
7
52 - 54
12
55 - 57
11
58 - 60
6
61 - 63
1
Jumlah
40

Penyelesaian:
Berat Badan
frekuensi
fk
46 - 48
3
3
49 - 51
7
10
52 - 54
12
22
55 - 57
11
33
58 - 60
6
39
61 - 63
1
40
Jumlah
40


Kı = Tb +  × P                       Kɜ = Tb +  × P
                = 48,5 +  × 3                = 54, 5+  × 3
     = 48, 5 +  × 3                                    = 54, 5 +  × 3
                = 48, 5 + 3                               = 54, 5 +
           = 51,5                                                    = 56,68


RAK = Kɜ – Kı
         = 56,68 – 51, 5
                     = 5, 18


D.      Simpangan Kuartil
Setengah dari jangkauan kuartil disebut jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil (Qd). Jangkauan Interkuartil didefinisikan sebagai selisih kuartil terbesar dengan terkecil. Jangkauan interkuartil biasa juga disebut Hamparan (H), dengan rumus ditulis sebagai :
H = Q3 – Q1.
Maka setengah dari rumus Hamparan (H) disebut dengan Simpangan Kuartil dengan rumus ditulis sebagai: Qd =  (Q3 – Q1)
Kuartil membagi data (n) yang berurutan atas 4 bagian yang sama banyak.
Q1 = kuartil bawah (1/4n )
Q2 = kuartil tengah/median (1/2n)
Q3 = kuartil atas (1/4n )
2,
7,
1,          3,    4,           8

     Q1       Q2       Q3

Contoh Soal 1:
Data tidak dikelompokkan
Diketahui data
95, 84, 86, 90, 93, 88, 97, 98, 89, 94
95,
Data diurutkan terlebih dahulu, menjadi:
88,
84,  86,          89,  90,  93,  94,          97,  98

            Q1            Q2             Q3
Q1 = 88 
Q2 = 90 93 
Q3 = 95

Penyelesaian:
a.       Jangkauan
J = 98 - 84 = 14
b.      Kuartil
Q1 = 88
Q2 = (90+93)/2 = 91,5
Q3 = 95
c.       Simpangan kuartil
Qd         =  (Q3 – Q1)
      =  (95 - 88)        
      = 3,5

Contoh Soal 2:
Data dikelompokkan
Skor
Titik Tengah
Frekuensi
50-54
52
4
55-59
57
6
60-64
62
8
65-69
67
16
70-74
72
10
75-79
77
3
80-84
82
2
85-89
87
1
Jumlah

n = 50
Penyelesaian:
a.         Jangkauan     = Titik tengah kelas tertinggi - Titik tengah kelas terendah
                     = 87-52 =35
b.        Kuartil bawah (¼n )
Q1 = 59,5 + ((12,5 - 10)/8 . (5)) = 61,06
Kuartil bawah (¾n ) 
Q3 = 69,5 + (37,5 - 34)/10 . 5 = 71,25
c.         Simpangan Kuartil
Qd   =   (Q3 – Q1)
=   (71,25 - 61,06)  
= 5,09

E.       Simpangan Rata-rata (Deviasi Rata-rata)
Ukuran penyebaran yang hanya didasarkan pada nilai maksimum dan minimum saja tidak memberikan gambaran yang baik untuk melihat penyebaran data. Untuk itu, dicari ukuran penyebaran lain yang didasarkan pada seluruh nilai data dan dihitung terhadap nilai-nilai rata-ratanya.
Jika nilai deviasi rata-rata kecil, nilai data terkonsentrasi di sekitar nilai pusat. Jika nilai rata-rata besar, nilai data tersebut jauh dari nilai rata-ratanya. Jadi deviasi rata-rata adalah suatu simpangan nilai unit observasi terhadap nilai rata-rata.
1.    Deviasi Rata-rata dari Data Tunggal
Deviasi rata-rata dari data tunggal dicari dengan rumus:
SR =       atau       SR =  

Keterangan:
SR = Simpangan rata-rata
= nilai rata-rata
= data ke 1
n = banyaknya data

contoh 1
Hitunglah simpangan rata-rata dari data berikut ini!
4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
Jawab:
Rata-ratanya adalah:
   =  = 7
SR   
 

Contoh 2
xi
xi -
8
7
10
11
-1
-2
1
2
1
2
1
2

Dari data di atas, diketahui rata-ratanya adalah 9.  Carilah simpangan rata-ratanya.
Jawab :
SR =      
SR =  = 1,5

2.    Deviasi Rata-rata dari Data yang Dikelompokan
Untuk data yang di kelompokan dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
SR =
`           Keterangan:
            SR = Simpangan Rata-rata
            f = frekuensi
            Contoh 1:
            Perhatikan tabel distribusi frekuensi data berikut!
Nilai
Frekuensi ( f )
52 – 58
¹
59 – 65
6
66 – 72
7
73 – 79
20
80 – 86
8
87 – 93
4
94 – 100
3
Jumlah
50
  
Tentukan nilai simpangan rata-rata di atas!
Jawab:
Nilai
F
X
52-58
2
55
59-65
6
62
66-72
7
69
73-79
20
76
80-86
8
83
87-93
4
90
94-100
3
97
Jumlah
50


Rata-ratanya adalah
SR=  
SR =
Jadi, Simpangan rata-ratanya adalah 7.

F.     Simpangan Baku (standard deviation)
     Ukuran tingkat penyimpanan data yang paling banyak digunakan dalam analisis data adalah deviasi data atau simpangan baku (s untuk simpangan baku sample, dan δ untuk simpangan baku populasi). Adapun maksud dan pengertian dari ukuran di atas adalah merupakan ukuran penyimpangan terhadap nilai rata-ratanya, nilai simpangan baku merupakan akar positif dari selisih item data dengan nilai rata-rata yang dibagi oleh jumlah data (untuk data yang belum dikelompokkan), dengan formulasi sebagai berikut:
Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal
Rumus untuk data sampel                        s =            
Rumus untuk data populasi                     σ =
Contoh:
Selama 10 kali ulangan semester ini Andi mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan Andi?
Jawab:
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata =  
Setelah itu kita tentukan  - xi 2 dari setiap nilai yang ada, hasilnya seperti di tabel diatas.
Selanjutnya,kita masukkan ke rumus:
S =
S =
Rumus Simpangan Baku untuk Data Berkelompok
Rumus untuk data sampel                        s =      
Rumus untuk data populasi                     σ =      
     Semakin kecil nilai dari ukuran simpangan baku tersebut, maka dapat diartikan bahwa tingkat penyebaran data akan semakin mendekati nilai rata-ratanya, dan jika nilai simpanagn baku = 0, dapat diartikan bahwa data yang dipunyai sama dengan nilai rata-ratanya. Misalkan, kita mempunyai 5 data yang diperoleh dari hasil survei 5 orang mahasiswa yang dimintai keterangan perihal Indeks Prestasi mereka adalah 3,2; 3,2; 3,2; 3,2 dan 3,2 (kebetulan semua sama IPK-nya), maka kalau nilai rat-rata akan didapatkan  X = 3,2 dan berdasarkan hasil perhitungan dari formulasi diatas besarnya s akan sama dengan 0 (nol). Hal ini dapat diartika bahwa dari data yang kita punya tidak didapati penyimpangan terhadap nilai rata-ratanya
Contoh:
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut:
hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut
2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku
G.    Varians (variance)
     Varian adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ2 (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s2 sampel.
Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s2  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.
Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi
σ2  =   
Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel
s2 =   
Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi
Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel
Keterangan:
σ2 = varians atau ragam untuk populasi
S2 = varians atau ragam untuk sampel
fi   = Frekuensi
xi  = Titik tengah
x = Rata-rata (mean) sampel dan  
μ = rata-rata populasi
n =  Jumlah data

Koefisien variasi (Coefficient of variation)
            Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut. Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.
 
 untuk populasi
 untuk sampel                                                   
Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.
Contoh:
Selama 10 kali ulangan semester ini Andi mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan Andi?
Jawab:
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata =  
Setelah itu kita tentukan  - xi 2 dari setiap nilai yang ada, hasilnya seperti di tabel diatas.
Selanjutnya,kita ke rumus untuk mencari simpangan baku:
S =
S =
Setelah itu baru kita masukkan ke rumus koefisien variasi:
 
=    ×100%
= 7,85%

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Simpangan rata-rata, simpangan baku, dan koefisien variasi

BAB I PENDAHULUAN A.     Latar Belakang             Pada dasarnya statistika ialah sebuah konsep dalam bereksperimen, menganalisa data yang bertujuan untuk mengefisiensikan waktu, tenaga dan biaya dengan memperoleh hasil yang optimal. Berdasarkan definisinya . Statistika merupakan ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Sedangkan statistikadalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Data sendiri merupakan kumpulan fakta atau angka.             Pada makalah ini, kami akan membahas materi yang berjudul”Menentukan dan Menjelaskan Ukuran Dispersi Data”. Alasan kami memilih judul ini karena kami ingin menambah wawasan tentang bagaimana data itu tersebar. Ada beberapa ukuran penyebaran data yaitu rentang (Range) , ...
Baca selengkapnya

Regresi dalam statistik

Gambar
A.       Pengertian Regre si Regresi Linear Sederhana adalah Metode Statistik yang berfungsi untuk menguji sejauh mana hubungan sebab akibat antara Variabel Faktor Penyebab (X) terhadap Variabel Akibatnya. Faktor Penyebab pada umumnya dilambangkan dengan X atau disebut juga dengan Predictor sedangkan Variabel Akibat dilambangkan dengan Y atau disebut juga dengan Response. Regresi bertujuan untuk mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap varibel lain. Jika ditulis dalam bentuk persamaan, model regresi sederhana adalah           y = a + bX, di mana, y adalah variabel tak bebas (terikat), X adalah variabel bebas, a adalah penduga bagi intercept (α), b adalah penduga bagi koefisien regr esi (β).   B.        Kegunaan Analisis Regresi Analisis regresi berguna untuk: 1.       Memutuskan apakah naik dan menurunnya variabel dependen dapat ...
Baca selengkapnya

Data Distribusi Frekuensi

A.     Distribusi Frekuensi Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak yang dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah disusun ke dalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar (Hasan, 2001). Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagian-bagian tersebut akan dijelaskan sebagai berikut (Hasan, 2001): Kelas-kelas (class) adalah kelompok nilai data atau variable dari suatu data acak.  Batas kelas (class limits) adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena di antara kelas yang satu dengan kelas yang lain masih terdapat lubang...
Baca selengkapnya